Алгоритм синхронизации

Здесь будет рассмотрена математическая составляющая алгоритмов синхронизации физики. Понимающих в этом деле, просьба прокомментировать.

Построение сплайна

Для синхронизации была выбрана форма кубических сплайнов, при которой за основу берутся значения функции и ее производной в двух точках.

Свойства сплайна:

<math>s(t_i) = f(t_i) = , \quad s'(t_i) = f'(t_i)\!</math>

Уравнение сплайна:

<math>s(t) = a + bt + ct^2 + dt^3\!</math>

Для нахождения коэффициентов <math>a, b, c, d</math> записываем систему уравнений:

<math>\begin{cases}

a + bt_0 + ct_0^2 + dt_0^3 = f(t_0) \\ a + bt_1 + ct_1^2 + dt_1^3 = f(t_1) \\ b + 2ct_0 + 3dt_0^2 = f'(t_0) \\ b + 2ct_1 + 3dt_1^2 = f'(t_1) \end{cases} </math>

Подставляем известные значения в правой части системы (даны по условию):

<math>\begin{cases}

a + bt_0 + ct_0^2 + dt_0^3 = x_0 \\ a + bt_1 + ct_1^2 + dt_1^3 = x_1 \\ b + 2ct_0 + 3dt_0^2 = v_0 \\ b + 2ct_1 + 3dt_1^2 = v_1 \end{cases} </math>

Поскольку сплайн не зависит от конкретных значений <math>t_0</math> и <math>t_1</math> положим <math>t_0 = 0</math>, а <math>t_1 = t</math>. В результате, пара уравнений становится тривиальной:

<math>\begin{cases}

a = x_0 \\ a + bt_1 + ct_1^2 + dt_1^3 = x_1 \\ b = v_0 \\ b + 2ct_1 + 3dt_1^2 = v_1 \end{cases} </math>

Заменяем в оставшихся уравнениях известные теперь коэффициенты и получаем конечную систему:

<math>\begin{cases}

x_0 + v_0t_1 + ct_1^2 + dt_1^3 = x_1 \\ v_0 + 2ct_1 + 3dt_1^2 = v_1 \end{cases} </math>

После нехитрых манипуляций, получаем выражения для оставшихся коэффициентов:

<math>\begin{cases}

c = \frac{3x_1 - 3x_0 - 2v_0t - v_1t}{t^2} \\ d = \frac{v_1t - 2x_1 + 2x_0 + v_ot}{t^3} \end{cases} </math>